System equations 07

16/04/201216/04/2012 phamtuankhai Hệ phương trình

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases}\sqrt {x + y - 1} + \sqrt {x - 1} = 3\\\sqrt {{{\left( {x - y}\right)}^2} + 2xy(x + y)} + \sqrt {{x^2} - {y^2}} = 6\left(x+y-1\right)\end{cases}$

Lời giải

Bài toán tương tự:

Giải hệ phương trình: $\begin{cases}\sqrt{x-y}+\sqrt{x-2}=2 \\ \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy\left( x-y \right)}+\sqrt{xy-{{y}^{2}}}=2\sqrt{2}\left( x-y-1 \right) \end{cases}\quad ( x,y\in \mathbb{R} )$

System equations 06

13/04/201213/04/2012 phamtuankhai Hệ phương trình

Giải hệ phương trình

$\begin{cases}4xy^2 + 3x^2 + y^2+ 12xy + 2y = 0\\2xy - 2x - 2y = 1\end{cases}$

Hướng dẫn giải

Từ phương trình (2) ta suy ra: $4x^2+4y^2+8xy=(2xy-1)^2$

Thay vào phương trình (1), ta có:

$4xy^2+4x^2y^2+1+2y=x^2+3y^2$

$(2xy+1)^2+4xy^2-4xy+2y-x^2-3y^2=0$

$(2xy+1)^2+2y(2xy+1)-(x+y)(x+3y)=0$

$(2xy+1-x-y)(2xy+1+x+3y)=0$

– Với $\begin{cases}2xy-x-y=-1\\ 2xy-2x-2y=1\end{cases}$

– Với $\begin{cases} 2xy+x+3y=-1 \\2xy-2x-2y=1 \end{cases}$

Inequality 18

11/04/201212/04/2012 phamtuankhai Bất đẳng thức

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=1$ . Chứng minh rằng:

$\dfrac{3yz}{x}+\dfrac{4zx}{y}+\dfrac{5xy}{z}\ge 4$

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ , ta có:

$\begin{aligned}\dfrac{3yz}{x}+\dfrac{4zx}{y}+\dfrac{5xy}{z}&=\left(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)+\left(\dfrac{2yz}{x}+\dfrac{2xy}{z}\right)+\left(\dfrac{3zx}{y}+\dfrac{3xy}{z}\right)\\& \ge 2z+4y+6x\\&=4(x+y)+2(x+z)\\&\ge 8\sqrt{xy}+4\sqrt{xz}\\&=4\end{aligned}$

Vậy bất đẳng thức đã được chưng minh.

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}\blacksquare$ .

Inequaliy 17

11/04/2012 phamtuankhai Bất đẳng thức

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=3$ . Chứng minh rằng:

$\dfrac{a^2}{\sqrt{a^3+8}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{b^3+8}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{c^3+8}} \ge 1$

Lời giải

Inequaliy 16

11/04/201211/04/2012 phamtuankhai Bất đẳng thức

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$ . Chứng minh rằng:

$\dfrac{a+1}{a+2}+\dfrac{b+1}{b+2}+\dfrac{c+1}{c+2}\ge 2$

Lời giải

Inequaliy 15

11/04/201212/04/2012 phamtuankhai Bất đẳng thức

Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta đều có:

$\dfrac{1}{a(1+b)}+\dfrac{1}{b(1+c)}+\dfrac{1}{c(1+a)}\ge \dfrac{3}{1+abc}$

Lời giải

Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành:

$\dfrac{1+abc}{a(1+b)}+\dfrac{1+abc}{b(1+c)}+\dfrac{1+abc}{c(1+a)}\ge 3$

Ta chú ý:

$\begin{aligned}\dfrac{1+abc}{a(1+b)}&=\dfrac{1+abc+a(1+b)}{a(1+b)}-1\\&=\dfrac{(1+a)+ab(1+c)}{a(1+b)}-1\\&=\dfrac{1+a}{a(1+b)}+\dfrac{b(1+c)}{1+b}-1\end{aligned}$

Bất đẳng thức trên tương đương với:

$\dfrac{1+a}{a(1+b)}+\dfrac{b(1+c)}{1+b}-1+\dfrac{1+b}{b(1+c)}+\dfrac{c(1+a)}{1+c}-1+\dfrac{1+c}{c(1+a)}+\dfrac{a(1+b)}{1+a}-1\ge 3$

hay $\left[\dfrac{1+a}{a(1+b)}+\dfrac{a(1+b)}{1+a}\right]+\left[\dfrac{b(1+c)}{1+b}+\dfrac{1+b}{b(1+c)}\right]+\left[\dfrac{c(1+a)}{1+c}+\dfrac{1+c}{c(1+a)}\right]\ge 6$

Bất đẳng thức cuối đúng theo $AM-GM$ .

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1\blacksquare$ .

Inequality 14

11/04/201212/04/2012 phamtuankhai Bất đẳng thức

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=(a^2+b^2+c^2)\left[\dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}\right]$

Lời giải

Giả sử $c=\min \left\{a,b,c\right\}$ . Ta có: $0<a-c\le a, 0<b-c\le b$

Do đó:

$P\ge (a^2+b^2)\left[\dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right]=\dfrac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+(a^2+b^2)\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)$

Đặt $x=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}>2$ . Ta có:

$\dfrac{a^2+b^2}{(a-b)^2}=\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2-2ab}=\dfrac{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2}=\dfrac{x}{x-2}$

$(a^2+b^2)\left(\dfrac {1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)=\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}+2=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)^2=x^2$

Suy ra: $P\ge \dfrac{x}{x-2}+x^2$

Xét hàm số $f(x)=\dfrac{x}{x-2}+x^2$ với $x>2$

Ta có: $f'(x)=\dfrac{2(x-1)(x^2-3x+1)}{(x-2)^2}$

Lập bảng biến thiên ta thấy $f(x)\ge f\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right)=\dfrac{11+5\sqrt{5}}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\dfrac{11+5\sqrt{5}}{2}$ .

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},c=0$ và các hoán vị $\blacksquare$ .

Inequality 13

11/04/2012 phamtuankhai Bất đẳng thức

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3$

Lời giải

Ta biết rằng với $x+y+z=0$ thì $x^3+y^3+z^3=3xyz$ .

Do đó biểu thức $P$ được viết lại thành:

$P=3(a-b)(b-c)(c-a)$

System equations 05

10/04/201210/04/2012 phamtuankhai Hệ phương trình

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x=3 \\ {{x}^{2}}-4{{y}^{2}}+\dfrac{2xy}{x+y-1}=-1 \end{cases}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện : $x+y\ne 1$
Phương trình $(2)$ của hệ được viết lại:

$\begin{aligned} & (x-1)^2-4y^2+\dfrac{2xy}{x+y-1}+2x=0\\ \Leftrightarrow &(x+2y-1)\left(x-1-2y+\dfrac{2x}{x+y-1}\right)=0\\ \Leftrightarrow &(x+2y-1)(x^2-xy-2y^2+y+1)=0\end{aligned}$

Trường hợp 1: $x+2y-1=1$ thay vào phương trình $(1)$ là xong
Trường hợp 2: $x^2-xy-2y^2+y+1=0$ ta có hệ sau: $\begin{cases} x^2-xy-2y^2+y+1=0\\x^2+y^2+x=3\end{cases} \$
đặt $x=a+1; y=b+1$ thay vào 2 phương trình ta thu được hệ đẳng cấp.

Nguồn onluyentoan.vn

System equations 04

10/04/201210/04/2012 phamtuankhai Hệ phương trình

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases}x^2y^2+2y^2+4=7xy\\x^2+2y^2+6y=3xy^2\end{cases}\quad (x,y \in \mathbb R)$

Hướng dẫn giải

$\begin{aligned}&\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2 + \dfrac{4}{{{y^2}}} = \dfrac{{7x}}{y}\\\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + 2 +\dfrac{6}{y} = 3x\end{array} \right. \\\Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{4}{{{y^2}}} = \dfrac{{3x}}{y} - 2\\3\left( {x - \dfrac{2}{y}} \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow & {\left( {x - \dfrac{2}{y}} \right)^2} + 3\left( {x - \dfrac{2}{y}} \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + 3\dfrac{x}{y}\end{aligned}$

Bài tương tự:

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} {x^2}{y^2} + {y^2} + 4 = 6xy\\ {x^2} + {y^2} + 4y = 2x{y^2} \end{cases}\quad (x,y\in \mathbb R)$

.::phamtuankhai's blog::.

phamtuan_khai20062000@yahoo.com

Tháng: Tháng Tư 2012

System equations 07

System equations 06

Inequality 18

Inequaliy 17

Inequaliy 16

Inequaliy 15

Inequality 14

Inequality 13

System equations 05

System equations 04